常見的泰勒公式展開式大全

泰勒公式展開式都有哪些？下面，小編整理了一些常見的泰勒公式展開式，希望對(duì)你們有幫助。

常見的泰勒公式展開式

泰勒公式展開的技巧

泰勒公式在x=a處展開為

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2！)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n！)f(n)(a)(x-a)^n+……

設(shè)冪級(jí)數(shù)為f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①

令x=a則a0=f(a)

將①式兩邊求一階導(dǎo)數(shù)，得

f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②

令x=a，得a1=f'(a)

對(duì)②兩邊求導(dǎo)，得

f"(x)=2！a2+a3(x-a)+……

令x=a，得a2=f''(a)/2！

繼續(xù)下去可得an=f(n)(a)/n！

所以f(x)在x=a處的泰勒公式為：

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n！](a)(x-a)^n+……

應(yīng)用：用泰勒公式可把f(x)展開成冪級(jí)數(shù)，從而可以進(jìn)行近似計(jì)算，也可以計(jì)算極限值，等等。

另外，一階泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理

f(b)=f(a)+f(ε)(b-a)，ε介于a與b之間。

泰勒公式有什么用途

泰勒公式展開在物理學(xué)應(yīng)用！

物理學(xué)上的一切原理定理公式都是用泰勒展開做近似得到的簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)的勢(shì)能具有x^2的形式，并且能在數(shù)學(xué)上精確求解。為了處理一般的情況，物理學(xué)首先關(guān)注平衡狀態(tài)，可以認(rèn)為是“不動(dòng)”的情況。為了達(dá)到“動(dòng)”的效果，會(huì)給平衡態(tài)加上一個(gè)微擾，使物體振動(dòng)。在這種情況下，勢(shì)場(chǎng)往往是復(fù)雜的，因此振動(dòng)的具體形式很難求解。這時(shí)，Taylor展開就開始發(fā)揮威力了！

理論力學(xué)中的小振動(dòng)理論告訴我們，在平衡態(tài)附近將勢(shì)能做Taylor展開為x的冪級(jí)數(shù)形式，零次項(xiàng)可取為0，一次項(xiàng)由于平衡態(tài)對(duì)應(yīng)的極大/極小值也為0，從二次項(xiàng)開始不為零。如果精確到二級(jí)近似，則勢(shì)能的形式與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)完全相同，因此很容易求解。這種處理方法在量子力學(xué)、固體物理中有著廣泛應(yīng)用。

反思一下這么處理的原因：首先，x^2形式的勢(shì)能對(duì)應(yīng)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，能精確求解；其次，Taylor級(jí)數(shù)有較好的近似，x^2之后的項(xiàng)在一定條件下可以忽略。這保證了解的精確性。