2024天津高考數(shù)學(xué)試題

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（天津卷）

本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁．

答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．

祝各位考生考試順利！

第Ⅰ卷（選擇題）

注意事項(xiàng)：

1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．

2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．

參考公式：

·如果事件互斥，那么．

·如果事件相互獨(dú)立，那么．

·球的體積公式，其中表示球的半徑．

·圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1. 集合，，則（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 設(shè)，則“”是“”的（   ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

3. 下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是（    ）

A.  B.

C  D.

4. 下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 若，則大小關(guān)系為（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（   ）

A. 若，，則 B. 若，則

C. 若，則 D. 若，則與相交

7. 已知函數(shù)的最小正周期為．則函數(shù)在的最小值是（   ）

A.  B.  C. 0 D.

8. 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（   ）

A.  B.  C.  D.

9. 一個(gè)五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體體積為（   ）

A.  B.  C.  D.

第Ⅱ卷

注意事項(xiàng)：

1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．

2．本卷共11小題，共105分．

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對1個(gè)的給3分，全部答對的給5分．

10. 已知虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______．

11. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______．

12. 的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，為兩曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為______．

13. 五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加.（1）甲選到的概率為______；已知乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為______．

14. 在邊長為1的正方形中，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)， ，則______；若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為______．

15. 若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍為______．

三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

16. 在中，．

（1）求；

（2）求；

（3）求．

17. 已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

（1）求證平面；

（2）求平面與平面的夾角余弦值；

（3）求點(diǎn)到平面距離．

18. 已知橢圓橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．

（1）求橢圓方程．

（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立．若存在求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請說明理由．

19. 已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．

（1）求數(shù)列前項(xiàng)和；

（2）設(shè)，，其中是大于1的正整數(shù)．

（?。┊?dāng)時(shí)，求證：；

（ⅱ）求．

20. 設(shè)函數(shù)．

（1）求圖象上點(diǎn)處的切線方程；

（2）若在時(shí)恒成立，求的取值范圍；

（3）若，證明．