2024新高考Ⅱ卷高考數(shù)學(xué)試題

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)II卷）

數(shù)學(xué)

本試卷共10頁(yè)，19小題，滿分150分.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1. 已知，則（    ）

A. 0 B. 1 C.  D. 2

2. 已知命題p：，；命題q：，，則（    ）

A. p和q都是真命題 B. 和q都是真命題

C. p和都是真命題 D. 和都是真命題

3. 已知向量滿足，且，則（    ）

A.  B.  C.  D. 1

4. 某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理下表

據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（    ）

A. 100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B. 100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%

C. 100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D. 100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

5. 已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段中點(diǎn)M的軌跡方程為（    ）

A. （） B. （）

C. （） D. （）

6. 設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

7. 已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（    ）

A.  B. 1 C. 2 D. 3

8. 設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（    ）

A.  B.  C.  D. 1

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)得 6 分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9. 對(duì)于函數(shù)和，下列正確有（    ）

A. 與有相同零點(diǎn) B. 與有相同最大值

C. 與有相同的最小正周期 D. 與的圖像有相同的對(duì)稱軸

10. 拋物線C：準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則（    ）

A. l與相切

B 當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，

C. 當(dāng)時(shí)，

D. 滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)

11. 設(shè)函數(shù)，則（    ）

A 當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)

B. 當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)

C. 存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸

D. 存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心

三、填空題：本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.

12. 記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則________.

13. 已知為第一象限角，為第三象限角，，，則_______.

14. 在如圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是________．

四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15. 記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．

（1）求A．

（2）若，，求的周長(zhǎng)．

16. 已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．

17. 如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF對(duì)折至，使得．

（1）證明：；

（2）求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．

18. 某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．

（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率．

（2）假設(shè)，

（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？

（ii）為使得甲、乙，所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？

19. 已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.

（1）若，求；

（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；

（3）設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，.