導(dǎo)數(shù)也叫導(dǎo)函數(shù)值是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí),函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在,a即為在x0處的導(dǎo)數(shù),記作f’(x0)或df(x0)/dx。
1、對(duì)于常數(shù)函數(shù)y=c,其導(dǎo)數(shù)為y'=0。
2、對(duì)于冪函數(shù)y=x^n,其導(dǎo)數(shù)為y'=nx^(n-1),其中n不等于0。
3、對(duì)于三角函數(shù),如y=sinx,其導(dǎo)數(shù)為y'=cosx;y=cosx,其導(dǎo)數(shù)為y'=-sinx;y=tanx,其導(dǎo)數(shù)為y'=1/cos^2x;y=cotx,其導(dǎo)數(shù)為y'=-1/sin^2x。
4、對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=a^x,其導(dǎo)數(shù)為y'=a^xlna,其中a>0且a不等于1;y=e^x,其導(dǎo)數(shù)為y'=e^x。
5、對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,其導(dǎo)數(shù)為y'=1/xlna,其中a>0且a不等于1;y=lnx,其導(dǎo)數(shù)為y'=1/x。
6、對(duì)于反三角函數(shù),如y=arcsinx,其導(dǎo)數(shù)為y'=1/√(1-x^2);y=arccosx,其導(dǎo)數(shù)為y'=-1/√(1-x^2);y=arctanx,其導(dǎo)數(shù)為y'=-1/(1+x^2)。
單調(diào)性
1、若導(dǎo)數(shù)大于零,則單調(diào)遞增;若導(dǎo)數(shù)小于零,則單調(diào)遞減;導(dǎo)數(shù)等于零為函數(shù)駐點(diǎn),不一定為極值點(diǎn)。需代入駐點(diǎn)左右兩邊的數(shù)值求導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性。
2、若已知函數(shù)為遞增函數(shù),則導(dǎo)數(shù)大于等于零;若已知函數(shù)為遞減函數(shù),則導(dǎo)數(shù)小于等于零。
根據(jù)微積分基本定理,對(duì)于可導(dǎo)的函數(shù),有:
如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)恒大于零(或恒小于零),那么函數(shù)在這一區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),這種區(qū)間也稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
導(dǎo)函數(shù)等于零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn),在這類點(diǎn)上函數(shù)可能會(huì)取得極大值或極小值(即極值可疑點(diǎn))。進(jìn)一步判斷則需要知道導(dǎo)函數(shù)在附近的符號(hào)。對(duì)于滿足的一點(diǎn),如果存在使得在之前區(qū)間上都大于等于零,而在之后區(qū)間上都小于等于零,那么是一個(gè)極大值點(diǎn),反之則為極小值點(diǎn)。
x變化時(shí)函數(shù)(藍(lán)色曲線)的切線變化。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值就是切線的斜率,綠色代表其值為正,紅色代表其值為負(fù),黑色代表值為零。
凹凸性
可導(dǎo)函數(shù)的凹凸性與其導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性有關(guān)。如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增,那么這個(gè)區(qū)間上函數(shù)是向下凹的,反之則是向上凸的。如果二階導(dǎo)函數(shù)存在,也可以用它的正負(fù)性判斷,如果在某個(gè)區(qū)間上恒大于零,則這個(gè)區(qū)間上函數(shù)是向下凹的,反之這個(gè)區(qū)間上函數(shù)是向上凸的。曲線的凹凸分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。
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