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數(shù)列收斂是什么意思 有幾種判定方法

薛詩瑜2020-08-06 16:25:34

數(shù)列收斂是什么意思?想必有許多小伙伴對數(shù)列收斂存有疑惑。下面,就跟小編一起來了解一下吧。

數(shù)列收斂是什么意思 有幾種判定方法

數(shù)列收斂是什么意思

數(shù)列收斂是設(shè)數(shù)列{Xn},如果存在常數(shù)a(只有一個),對于任意給定的正數(shù)q(無論多小),總存在正整數(shù)N,使得n>N時,恒有|Xn-a|<q成立,就稱數(shù)列{Xn}收斂于a(極限為a)。

如果數(shù)列Xn收斂,每個收斂的數(shù)列只有一個極限。如果數(shù)列{Xn}收斂,那么該數(shù)列必定有界。推論:無界數(shù)列必定發(fā)散;數(shù)列有界,不一定收斂;數(shù)列發(fā)散不一定無界。數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件,但不是充分條件。

記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函數(shù)級數(shù)項的余項(當然,只有x在收斂域上rn(x)才有意義,并有l(wèi)imn→∞r(nóng)n(x)=0

數(shù)列收斂和極限的關(guān)系

數(shù)列收斂則存在極限,這兩個說法是等價的;

數(shù)列收斂則數(shù)列必然有界,但是反過來不一定成立!例如:Xn=1,-1,1,-1,.....|Xn|<=1,是有界的,但是Xn不收斂。

設(shè)數(shù)列{Xn},如果存在常數(shù)a,對于任意給定的正數(shù)q(無論多?。?,總存在正整數(shù)N,使得n>N時,恒有|Xn-a|<q成立,就稱數(shù)列{Xn}收斂于a(極限為a),即數(shù)列{Xn}為收斂數(shù)列。數(shù)列收斂<=>數(shù)列存在唯一極限。

設(shè)有數(shù)列Xn,若存在M>0,使得一切自然數(shù)n,恒有|Xn|<M成立,則稱數(shù)列Xn有界。如果數(shù)列{Xn}收斂,那么該數(shù)列必定有界。推論:無界數(shù)列必定發(fā)散;數(shù)列有界,不一定收斂;數(shù)列發(fā)散不一定無界。數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件,但不是充分條件。

請問級數(shù)收斂的判別有哪幾種

1、對于所有級數(shù)都適用的根本方法是:柯西收斂準則。因為它的本質(zhì)是將級數(shù)轉(zhuǎn)化成數(shù)列,從而這是一個最強的判別法,柯西收斂準則成立是級數(shù)收斂的充分必要條件。

局限性:有一些數(shù)列的特征太過明顯,可以用更加簡潔的判別法去判別,用柯西收斂原理是浪費時間;另一方面,如果級數(shù)本身過于復(fù)雜,用柯西收斂準則也未必能很快得到證明。

2、對于正項級數(shù),一個基本但不常用的方法是部分和有界,這同樣是級數(shù)收斂的充分必要條件,這是正項級數(shù)中最強的判別法之一,局限性也是顯然的:通常來說一個級數(shù)的和函數(shù)并不好求,用這種方法行不通,因此這個方法通常只有理論上的意義。

3、對于正項級數(shù),比較判別法是一個相當有效的判別法,通過找一個新正項級數(shù),比較通項,如果原級數(shù)的通項小,新級數(shù)收斂,則原級數(shù)收斂;如果新級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)通項大,則原級數(shù)發(fā)散,通常在判別過程中使用其極限形式。

局限性:當級數(shù)過于復(fù)雜時,要找的那個新級數(shù)究竟是什么很難判斷,通常的方法是對原級數(shù)的通項做泰勒展開,以找到與之等價的p級數(shù)。

4、對于正項級數(shù),有積分判別法:如果x>=1且f(x)〉=0且遞減,則無窮級數(shù)(通項為f(n))與1到正無窮對f(x)作的積分同斂散。這個辦法對于某些級數(shù)特別有效。局限性:由于其本質(zhì)是將級數(shù)化成了反常積分,如果化成的反常積分的收斂性難以判斷,則有可能該方法就把問題復(fù)雜化了。

5、對于正項級數(shù),還有拉貝判別法與高斯判別法。拉貝判別法是將級數(shù)與通項為1/(n^alpha)的級數(shù)做比較,如果當n充分大時,n(a[n]/a[n+1]-1)〉=r>1,那么級數(shù)收斂。

高斯判別法將級數(shù)與通項為1/(n(lnn)^alpha)的級數(shù)做比較,如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o(1/nlnn),其中beta〉1,則級數(shù)收斂。

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